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작성일18-07-07 10:26

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2. 좌표계의 종류

2-1) 직교좌표계 (rectangular coordinate system)


j
i
k
r(t)
P
rz
ry
rx


그림 1 직교좌표계

위치벡터를
r(t) = rxi + ryj + rzk (i, j, k 는 단위벡터)
라 하면, 속도는 위치벡터를 시간에 대해 미분한 것이므로

i, j, k 는 단위벡터이므로 시간에 대해 미분하면 0 이 된다 그러므로

( )
가속도는 단위시간당 변한 속도의 變化(변화)량이므로 속도를 시간에 대해 미분하면

( i, j, k 는 단위벡터이므로 미분하면 0)


( )

2-2) 접선-법선 좌표계 (tangential-normal coordinates)
- 접선-법선 좌표계는 경로가 定義(정의)된 경우 사용하면 편리하다. 이때 어느 좌표계의 기준이 되는 고유한 한 점을 원점(origin), 매개가 되는 실수(어떤 길이, 또는 방향 등)을 좌표(Coordinate)라 한다.

k
et
en
S=S(t)
ρk
P
path
어떤 질점이 경로 는 단위벡터)를 따라 움직일 때 속도는 경로를 시간에 대해 미분하고 가속도는 속도를 시간에 대해 미분하여 구하면
(1)

그림 2 접선-법선 좌표계
-(2)
et 는 시간에 대해 방향만 변한다.

그림 5 극좌표계

t=t

k
r(t)
θ
기준선
기준점
P
θt ⇒ er
어떤 질점이 운동할 때 기준선과 기준점을 정하자. 기준점에서 그 질점까지의 위치벡터를 라고 하자. 속도와 가속도를 구하면







과 같이 된다

2-4) 원통좌표계 (Cylinderical Coordinates)

원통좌표계는 극좌표계의 공간상의 형태이다. 이에 경로평면의 수직인 축(k)을 따라 회전함을 알수 있다아 그러므로

( ※ 요약 2-1 참조 )
위의 식을 (2)에 대입하여 요약하면

-(3)

(1)식…(투비컨티뉴드 ) 에서 ω를 구하면
(ρ유도formula은 요약 2-2 참조)
위 식을 (3)에 대입하여 요약하면



※ 요약 2-1
한 점을 중심으로 회전하는 벡터의 미분은 각속도와 자신 벡터와의 외적이다.

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다. 임의의 질점의 위치벡터를 이라고 하면 는 b(t) 와 z(t) 의 벡터합으로 나타낼수 있다아



속도와 가속도를 구하면 다음과 같다.

θ(t)
S
et
r

양변을 시간 t에 대해 미분하면


P
et
k
r
θP
ω=ωk
k
b(t)




그림 3

※ 요약 2-2 ( 곡률반경 ρ )

그림 4 곡률반경

x

Y

O

O

ρ

C

dx

dy
ds



A

B

θ
θ

ds=ρdθ
△ABC 에서 보면
- (1)
B가 무한히 작아지면 A와 일치하게 되고 선분 AB는 그 점 A or B 에서 그 곡선의 기울기가 된다
tanθ는 A or B 의 위치에 따라 정해지며, 즉 xingredient에 의해 결정된다 즉 tanθ는 x에 대한 함수가 된다 점에서의 곡선의 기울기를 구하기 위해서(1)식을 x에 대해 미분하면



그러나 이며,

와 같이 되므로

그러나




2-3) 극좌표계 ( polar coordinates ) - 평면상에서만 가능하다. 좌표계
1. 좌표계의 개요

공간상의 한 물체 또는 한점의 위치는 일반적으로 좌표로써 표시된다 위치란 어느 좌표계에 있어서 다른 점들과 어떤 기하학적인 상관관계를 갖는가를 의미하는 것으로, 일반적으로 그 좌표계의 특정점 또는 특정선으로부터의 길이와 방향을 매개로 하여 표현한다.

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